Résolution d'une équation différentielle exacte

Pour résoudre une équation différentielle exacte J(x, y)y' + H(x, y) où les fonctions J et H vérifient la condition ¶H/¶y = ¶J/¶x, on a vu qu'il convient de chercher une fonction F(x, y) telle que ¶F/¶x = H et ¶F/¶y = J. Les graphes des solutions de l'équations seront inclus dans les courbes de niveau de la fonction F.

Méthode pour trouver une telle fonction F

H(x, y) et J(x, y) étant données, et vérifiant la condition ¶H/¶y = ¶J/¶x, on cherche F comme primitive de H par rapport à x, que l'on écrit A(x, y) + K(y) (la "constante d'intégration" est bien constante par rapport à x, mais peut dépendre de y !).
Ensuite, la relation ¶/¶y(A(x, y) + K(y)) = J(x, y), nous donne la fonction K'(y). On en déduit K(y), à une "vraie" constante près, d'où finalement les fonctions F(x, y).

Exemple :

Cherchons les fonction F associée à l'équation (x - y)y' + y - 2x = 0.
En posant J(x, y) = x - y et H(x, y) = y - 2x, on vérifie que ¶H/¶y = ¶J/¶x = 1.
Intégrons H = y - 2 x par rapport à x : on trouve F(x, y) = yx - x ² + K(y).
En écrivant que ¶F/¶y (x, y) = x - y, on trouve x + K'(y) = x - y,
donc K(y) = - y ²/2 + C.
On a finalement F(x, y) = xy - x ² - y ²/2 + C, et les lignes de niveau de F sont des ellipses.
L'équation différentielle résolue en y' associée y' = (2x - y)/(x - y) n'est pas définie sur la droite y = x. Ses solutions ont pour graphes des demi ellipses limitées par des points de la droite y = x . Chaque courbe de niveau de F fournit deux solutions de l'équation.

Sur la figure ci-dessous, cliquez pour obtenir des solutions . La droite y = x est figurée en jaune.

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