Equations du second ordre à coefficients constants avec second membre.

Il s'agit maintenant des équations  de la forme

ay'' + by' + cy = f(x)   (2)

où a, b, c sont des réels (a non nul), et f(x) une fonction dérivable à valeurs réelles.

Ensemble des solutions :

Appelons équation homogène associée l'équation ay'' +  by' + cy = 0. Nous savons trouver les solutions de cette équation homogène (voir page précédente).

Supposons que nous connaissions une solution p(x) de l'équation (2). Alors, si u(x) est une solution quelconque de l'équation homogène, la fonction p(x) + u(x) est aussi une solution de l'équation (2). Ainsi, si l'on sait trouver une solution de (2), on peut en déduire une infinité d'autres. En fait, on obtient alors toutes les solutions de l'équation (2) :

Théorème

Soit p(x) une solution de l'équation ay'' + by' + cy = f(x) (2). Alors une fonction deux fois dérivable v(x) est aussi solution de l'équation (2) si et seulement si la fonction u(x) = v(x) - p(x) est solution de l'équation homogène ay'' + by' + cy = 0.

Tout le problème est maintenant de trouver une solution particulière de l'équation ay'' + by' + cy = f(x).

Dans la pratique, c'est la forme de la fonction f qui nous indiquera sous quelle forme chercher la solution particulière.

• Si f(x) est un polynôme de degré n :
  Chercher une solution qui soit un polynôme de degré n.
• Si f(x) est de la forme K e^rx, avec ar² + br + c ¹ 0 :
  Chercher une solution de la forme d e^rx.
• Si f(x) est de la forme K e^rx avec ar² + br + c = 0 :
  Chercher une solution de la forme dx e^rx (ou dx² e^rx si r est racine double).
• Si f(x) est de la forme p(x) e^rx, où p(x) est un polynôme de degré n :
  Chercher une solution de la forme q(x) e^rx, où q(x) est un polynôme de degré n si ar² + br + c ¹ 0 , et de degré n + 1 si ar² + br + c = 0 (ou même n + 2 si r est racine double).
• Si f(x) est de la forme d cos rx + e sin rx :
  Chercher une solution de la forme g cos rx + h sin rx (ou x(g cos rx + h sin rx) si cos rx est solution de l'équation homogène).
• Si f(x) est la somme de plusieurs fonctions f₁(x), . . . , f_p(x) qui sont chacune d'un des types ci-dessus :

Chercher (pour i de 1 à p) une solution particulière s_i(x) de chacune des équations

ay'' + by' + cy = f_i(x).

La fonction s(x) = s₁(x) + . . . + s_p(x) sera solution de ay'' + by' + cy = f(x).