Equations non résolues en y'

Parfois, une équation différentielle est donnée sous la forme F(x, y, y') = 0, sans que l'on puisse trouver une équation y' = G(x, y) qui lui soit équivalente.
On appelle encore solution une fonction dérivable u(x) définie sur un intervalle I qui vérifie, pour tout x de I, F(x, u(x), u'(x)) = 0.
Ces équations sont à étudier au cas par cas : même si la fonction F est très régulière, il n'existe pas toujours de solution vérifiant une condition initiale y₀ = u(x₀) donnée, et s'il en existe elle n'est pas toujours unique. Nous nous contenterons de traiter un exemple.

Equation de Clairaut : yy' - xy' ² - 1 = 0    (1)

L'équation ne peut avoir de solution passant par un point (x₀, y₀) que si l'équation de second degré en y'   y₀ y' - x₀ y' ² - 1 = 0 a des solutions réelles, soit si y₀ ² - 4 x₀ positif ou nul. Par un point intérieur à la parabole (P) : y ² = 4x, il ne passe aucune solution.
Par ailleurs, en dérivant l'équation (1), on trouve y" (y - 2xy') = 0. Il est donc naturel de chercher des solutions vérifiant y" = 0, c'est-à-dire des droites.

Cherchons si u (x) = ax + b peut-être une solution ; en remplaçant y par ax + b et y' par a, on trouve comme condition ab = 1. Les droites y = ax + 1/a sont donc solutions de (1) pour tout a non nul. On peut vérifier facilement que ces droites sont tangentes à la parabole (P) au point (1/a², 2/a).

Notons D l'ensemble des points (x, y) qui vérifient la condition y ² - 4x > 0, c'est à dire l'extérieur de la parabole y ² = 4x.
Dans D (et pour x non nul), on peut résoudre l'équation (1) par rapport à y', ce qui donne deux équations

y' = (y ± (y² - 4x) ^1/2)/x   (2).

Ces deux équations vérifient dans D les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz.
On peut en conclure que, "localement", il y a exactement deux solutions de (1) passant par un point M de D : les deux tangentes menées de M à la parabole.
Sur la parabole (P) elle même, c'est un peu plus compliqué car le théorème de Cauchy-Lipsichtz ne s'applique plus à l'équation (2), car le second membre n'est pas dérivable aux points de (P).
Les fonctions y ± 2x^1/2, dont les graphes sont les deux demi-paraboles constituant (P), ont en chaque point même dérivée que leur tangentes (évidemment !) et cette tangente est solution ; les fonctions y ± 2x^1/2 sont donc elles-mêmes solutions de (1).

Remarquez que, si A et B sont deux points de (P) situés du même côté de l'axe des x, on obtient encore une solution de (1) en parcourant successivement :

• la demi-tangente à (P) jusqu'à son point de contact avec (P),
• la partie AB de (P),
• enfin, la demi-tangente à (P) issue de B.

La morale de l'affaire est que, dans les cas où l'on ne peut appliquer le théorme d'unicité, il faut faire très attention.

Sur la figure ci-dessous, si vous cliquez sur un point (x, y) avec y ² - 4x > 0, vous verrez les deux droites solutions passant par ce point. Si vous le faites suffisamment de fois, vous verrez apparaître la parabole comme enveloppe de toutes ces droites.

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