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Une équation différentielle du premier ordre linéaire à coefficient constant est une équation de la forme
y'= ay + b(x) ;
c'est le coefficient de y qui est constant.
L'équation homogène y' = ay
Ce type d'équation est souvent appelé un peu abusivement équation sans second membre.
La fonction nulle y = 0 est une solution. Les autres 
s'obtiennent en écrivant y'/y = a et en prenant une primitive de chaque membre ; on obtient
ln |y| = ax + C
où C est une constante arbitraire. Pour chaque valeur de C, cela donne deux solutions, l'une toujours positive y = e C e ax, l'autre toujours négative y = - e C e ax.
On retrouve toutes ces solutions, y compris la solution nulle , en disant que la solution générale de y' = ay est
y(x) = K e ax
où K est une constante arbitraire. Remarquons que K est la valeur de la solution en x = 0 ; on écrit donc souvent
y(x) = y(0) e ax.
Quelques-unes de ces solutions sont représentées ci-dessous.
Sur ce graphique, cliquez sur les boutons pour changer la valeur du paramètre a.
Remarquez en particulier ce qui se passe quand a change de signe.
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