L'équation linéaire à coefficient constant avec second membre
y' = ay + b(x)  (2)

La fonction b(x) est définie et continue sur un intervalle I.

Si y₁ et y₂ sont deux solutions de (2), alors y = y₁ - y₂ est une solution de l'équation (1) y' = a y (qu'on appelle équation homogène, ou encore équation "sans second membre", associée à (1)).

Donc si on connaît une solution y₁ de (2), toutes les solutions de cette équation s'écrivent :

y(x) = y₁ (x) + Ke^ax,

où K est une constante réelle arbitraire.

Méthode générale pout trouver une solution particulière

On cherche la solution particulière sous la forme
y₁(x) = C(x) e^ax.
La fonction C(x) = y₁ e^-ax vérifie alors
C'(x) = b(x) e^-ax.
La fonction C(x) doit donc être une primitive de b(x) e^-ax.
Si C(x) est une telle primitive, y₁= C(x) e^ax est une solution particulière, et la solution générale de l'équation s'écrit
y(x) = (C(x) + K) e^ax.

Remarque : La méthode qui vient d'être exposée est connue sous le nom de méthode de variation de la constante. En effet, elle consiste pour l'essentiel à remplacer la constante K présente dans la solution générale de l'équation homogène par une fonction "variable" C(x) bien choisie pour obtenir une solution de l'équation avec second membre.

Vous trouverez page suivante une méthode souvent plus rapide, mais qui ne marche que pour certains types de fonctions b(x).