Comment deviner une solution particulière de y' = ay + b(x)  ?

La méthode de variation des constantes exposée précedemment marche toujours ; cependant, dans bien des cas, il existe une solution particulière u(x) qui "ressemble" à b(x) . Le type de la fonction b(x) nous indique sous quelle forme la chercher, et il ne reste plus qu'à ajuster les coefficients. Cela conduit en général à des calculs plus simple que la méthode de variation des constantes.

Les exemples ci-dessous montrent comment s'y prendre pour trouver une telle solution particulière u(x). La solution générale de y' = ay + b(x)  sera alors, évidemment, u(x) + K e^ax.

• Si b(x) est un polynôme de degré n :
  Chercher une solution qui soit un polynôme de degré n .
• Si b(x) est de la forme c e^rx, avec r différent de a :
  Chercher une solution de la forme d e^rx .
• Si b(x) est de la forme c e^ax :
  Chercher une solution de la forme dx e^ax .
• Si b(x) est de la forme p(x) e^rx, où p(x) est un polynôme de degré n :
  Chercher une solution de la forme q(x) e^rx, où q(x) est un polynôme de degré n si r est différent de a , et de degré n + 1 si r = a .
• Si b(x) est de la forme c cos rx + d sin rx :
  Chercher une solution de la forme f cos rx + g sin rx .
• Si b(x) est la somme de plusieurs fonctions b₁(x), ... , b_p(x) qui sont chacune d'un des types ci-dessus :

Chercher (pour i de 1 à p) une solution particulière s_i(x) de chacune des équations

y' = ay + b_i(x).

La fonction s(x) = s₁(x) + ... + s_p(x) sera solution de y' = ay + b(x) .