Equations linéaires à coefficients variables

Ce sont les équations de la forme

y' = a(x) y + b(x)

où les fonctions a(x) et b(x) sont continues sur un intervalle I (le coefficient de y est maintenant une fonction de x).

L'équation sans second membre y' = a(x) y  (1)

La fonction y = 0 est une solution, définie sur I tout entier.

Les autres s'obtiennent en écrivant y'/y = a(x).

Si A(x) est une primitive de a(x), les solutions de (1) sont les fonctions de la forme

y = Ke ^A(x),

où K est une constante réelle arbitraire.

Si l'intervalle I contient 0, et que A(x) est la primitive de a(x) qui s'annule en 0 (c'est à dire ò₀^x a(t) dt ), alors K est la valeur de y en x = 0.

Remarquons que toutes les solutions de (1) sont définies sur l'intervalle I tout entier.

Exemple 1 : y' = xy

Ici, a(x) = x, donc la primitive de a(x) qui s'annule en 0 est A₀(x) = x ²/2.
Les solutions sont donc de la forme y = y(0) e ^x2/2.
Ces solutions sont définies sur tout entier, et paires. Elles tendent vers l'infini (avec le signe de y(0) ) quand x®±¥.

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Exemple 2 : y' = - xy

Ici, a(x) = - x, donc la primitive de a(x) qui s'annule en 0 est A₀(x) = - x ²/2.
Les solutions sont donc de la forme y = y(0) exp(-x²/2).
Ces solutions sont définies sur tout entier, et paires. Elles tendent toutes vers 0 quand x®±¥.

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