L'équation linéaire à coefficient variable avec second membre
y' = a(x) y + b(x)  (2)

Les fonctions a(x) et b(x) sont définies et continues sur un intervalle I ; on dit que la fonction b(x) est le second membre de l'équation.

Si y₁ et y₂ sont solutions de (2), y₂ - y₁ est solution de l'équation (1) y' = a(x) y .
Donc si on connait une solution y₁ de (2), toutes les solutions de cette équation s'écrivent

y(x) = y₁(x) + Ke ^A(x),

où K est une constante réelle arbitraire, et A(x) une primitive de a(x).

Exemple : y' = xy - x

On remarque que la fonction constante y = 1 est une solution.
Les solutions de cette équation s'écrivent donc y = 1 + Ke ^x2/2.

Méthode générale pour trouver une solution particulière

Soit y une solution de (2) ; si on pose z = ye ^-A(x), z est solution de z' = b(x) e ^-A(x) .
Si C(x) est une primitive de b(x) e ^-A(x), on obtient donc une solution de (2) en posant
y = C(x) e ^A(x).
Dans la pratique, on peut chercher directement une solution particulière de (2) sous la forme y = C(x) e ^A(x) en remplaçant dans (2) . C'est pour cela qu'on appelle cette méthode variation de la constante.

Exemple : Résolvons pour x > 0, l'équation y' = y/x + 1.

L'équation homogène associée, y' = y/x, a pour solution générale y = K x (ici, A(x) = ln(x)).
On cherche une solution particulière de y' = y/x + 1 sous la forme y = C(x) x.
On trouve y' = C'(x) x + C(x) et y/x + 1 = C(x) + 1 d'où C'(x) = 1/x et on peut prendre C(x) = ln(x).

Une solution particulière est donc y = x ln(x) (pour x > 0 ), et la solution générale est y = x ln(x) + K x     (x > 0)

Parfois on ne peut pas trouver explicitement la primitive cherchée, on laisse le résultat sous la forme d'une intégrale .

Remarque : Lorsqu'on a affaire à une équation à coefficient variable avec second membre y' = a(x) y + b(x), la forme de la fonction b(x) ne nous indique pas sous quelle forme chercher une solution particulière. Les méthodes utilisées lorsque a est une constante (si b(x) est un polynôme, chercher une solution polynomiale, etc.) ne marchent pas si a(x) n'est pas une constante.
On n'a guère d'autre choix que d'utiliser la méthode de variation des constantes.