Equations différentielles linéaires du second ordre

Une équation différentielle du second ordre est une équation portant sur une fonction inconnue y, dans laquelle intervient sa dérivée seconde y".
Sa forme la plus générale est  F(x, y, y', y" ) = 0.

On n'étudiera ici qu'un type particulier d'équations : les équations linéaires à coefficients constants.

Equations linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants

Il s'agit des équations de la forme :

ay" + by' + cy = 0  (1)

avec a, b, c réels (a non nul).

On les appelle aussi équation sans second membre.

Espace des solutions :

La fonction nulle y = 0 est une solution de (1) ; de plus, si y₁(x) et y₂(x) sont deux solutions de (1) et a et b des réels quelconques, la fonction ay₁(x) + b y₂(x) est encore une solution : en d'autres termes, l'ensemble des solutions forme un espace vectoriel sur (c'est en fait un sous espace vectoriel de l'espace des fonctions de dans ).
On peut montrer que cet espace est toujours de dimension 2. Si on connaît deux solutions y₁ et y₂ non nulles et non proportionnelles, les fonctions  ay₁ + by₂ représentent donc toutes les solutions.

Expression des solutions :

On associe à l'équation différentielle (1) l'équation (non différentielle ! ) du second degré

ar ² + br + c = 0  (2).

On l'appelle équation caractéristique de l'équation (1) ; l'expression des solutions de (1) dépend du type des racines de (2).
Dans chaque cas, les solutions dépendent de deux constantes arbitraires a et b.

• Si l'équation (2) admet deux racines réelles distinctes r₁ et r₂, les solutions de (1) s'écrivent

y = ae ^r₁x + be ^r₂x.

• Si l'équation (2) admet deux racines complexes non réelles, ces racines sont conjuguées et s'écrivent r ± is ;

Les solutions de (1) sont dans ce cas :

y = e ^rx (a cos(sx) + b sin(sx)).

On peut aussi les écrire

y = Ae ^rx cos(sx + F),

où A et F sont des constantes arbitraires.

• Si l'équation (2) admet une racine double r (nécessairement réelle) , les solutions sont :

y = (ax + b) e ^rx.

Les solutions trouvées sont définies sur tout entier. Remarquez que, contrairement au cas des équations du premier ordre, il y a une infinité de solutions dont le graphe passe par un point (x₀, y₀) donné.
En revanche, si l'on se donne les valeurs de y et de y' en un x₀ fixé (souvent x₀ = 0), il existe une solution unique qui remplit ces conditions .
Les constantes a et b peuvent être calculées en fonction de ces conditions initiales y(x₀) et v₀ = y'(x₀) .