Changements de variables dans les équations différentielles

Lorsqu'on cherche à résoudre une équation différentielle de la forme y' = f(x, y), mais qui n'est pas d'un des types dont on a appris à calculer les solutions, on peut essayer de se ramener à une équation connue en effectuant un changement de fonction inconnue (le mot "changement de variable" est un peu trompeur).

On pose y(x) = h(z(x)), (soit y = h _° z) , où h est une fonction dérivable ; la dérivation des fonctions composées donne y'(x) = h'(z(x)) z'(x) (soit y' = (h'_° z) z').
En remplaçant dans l'équation initiale, on trouve une équation contenant x, z et z' :

z'h'(z) = f(x, h(z))

c'est-à-dire une équation différentielle en la fonction inconnue z(x). Si h'(z) ne s'annule pas, on obtient l'équation

z' = f(x, h(z))/h'(z)

Si on a bien choisi la fonction h on peut parfois obtenir une équation en z qu'on sait résoudre.
Si v(x) est une solution de cette dernière équation, la fonction u(x) = h(v(x)) est solution de l'équation initiale.
Il n'y a pas de méthode générale pour trouver une telle fonction h, on ne peut que donner quelques exemples.

Exemple 1 : Cherchons à résoudre l'équation, définie pour y > 0,

y' = y ln(y)     (1)

Cette équation n'est pas très agréable à résoudre en tant qu'équation autonome. Mais puisque les fonctions cherchées doivent être à valeurs positives, on peut poser y(x) = e ^z(x).
On a alors ln(y) = z, et y' = e ^z z'. On peut donc écrire  e ^z z' = e ^z z, soit encore z' = z.
Les solutions de cette dernière équation sont z = A e ^x.

En remplaçant y par e^z, on trouve que les solutions de (1) sont les fonctions u(x) = exp(A e^x). On vérifie qu'elles sont bien à valeurs positives.

Exemple 2 : Revenons à l'exemple (voir introduction) d'une population de punaises d'eau vivant en une colonie en forme de disque. On suppose que le taux de croissance naturelle est égal à un réel a > 0, mais que les punaises vivant à la périphérie ont un taux de mortalité supplémentaire (dû par exemple au froid).
Si y(t) est la population à l'instant t, l'effectif de celles vivant à la périphérie est proportionnel à y(t) ^1/2. Cela nous conduit à une équation différentielle du type

y' = a y - b y ^1/2     (1)

La fonction y = 0 est solution (population toujours nulle) ; la fonction constante y = (b/a)² est aussi solution.Cherchons les autres.
L'équation (1) est autonome, mais pas facile à résoudre telle quelle. Mais, puisque la fonction y(t) que nous cherchons est à valeurs positives et que c'est y^1/2 qui nous ennuie, on peut essayer de poser

z = y ^1/2,

d'où y(t) = z(t) ² (avec z > 0), et donc y' = 2 zz'.
En remplaçant dans (1), on trouve 2 zz' = a z ² - b z. On en cherche les solutions positives, qui vérifient donc

z' = (a/2)z - b/2    (2)

Celle là est facile à résoudre, car  elle est linéaire.

u(t) = (C e ^(a/2)t + b/a) ²   avec C > 0,
u(t) = (C e ^(a/2)t + b/a) ² si t < t_C  , u(t) = 0 si t ³ t_C    avec C < 0 .
Les fonctions constantes u(t) = 0 et u(t) = (b/a) ².

Si l'effectif de départ est supérieur à (b/a)², la population croîtra indéfiniment; si il est inférieur à (b/a)², la population s'éteindra en un temps fini t_C = (2/a) ln (- b/aC). Si il vaut exactement (b/a)², la population restera constante.

Remarque : La fonction constante u = 0 est une solution de (1) ; le fait que certaines solutions s'annulent en un temps fini, et rejoignent donc la solution nulle, ne contredit pas le théorème d'unicité de Cauchy-Lipschitz, car la fonction  a y - b y ^1/2 n'est pas dérivable en y = 0.

La figure ci-dessous montre les solutions de (1). On voit sur ce dessin que l'équilibre y = (b/a)², est instable.