Equation différentielle liée à une famille de courbes donnée

Il s'agit dans cette page du problème inverse des précédents : connaissant une famille de fonctions, y-a-t-il une équation différentielle dont cette famille représente les solutions ?
Plus précisément, soit y = u(x, C) une fonction dérivable dépendant d'un paramètre C. Sa dérivée par rapport à x est y' = u'(x, C).
On peut souvent éliminer C entre les deux équations y = u(x, C) et y' = u'(x, C).
On obtient alors une équation F(x, y, y') = 0. C'est l'équation différentielle cherchée.
Plusieurs questions se posent alors, qu'il faut résoudre au cas par cas :

• L'équation F(x, y, y') est-elle partout définie ?
• Dans quelle région du plan (x, y) peut-elle se mettre sous la forme y' = f(x, y) ?
• Toutes les solutions de F(x, y, y') sont-elles de la forme y = u(x, C), c'est à dire appartiennent-elles à la famille initiale ?

Exemple : équation différentielle liée à une famille de paraboles.
Considérons la famille y = Cx² + x (pour C appartenant à ).
Toutes ces courbes sont des paraboles passant par l'origine, et tangentes à l'origine à la droite y = x.

La dérivation de y

En éliminant C entre les équations y = Cx² + x et xy' = 2Cx² + x , on obtient

xy' - 2y + x = 0.

C'est l'équation cherchée.

Cette équation est partout définie, mais ce n'est que si x ¹ 0, soit en dehors de l'axe des y, que l'on peut l'écrire sous la forme

y' = 2 y/x -1

L'équation  y' = 2 y/x -1 est une équation linéaire à coefficient variable (le coefficient de y est 1/x) avec second membre, définie pour x ¹ 0.
La solution générale de l'équation homogène associée  y' = 2y/x est  la fonction y = K x², définie soit pour x>0, soit pour x<0 (puisque que l'équation n'est pas définie pour x = 0).
Une solution particulière de y' = 2 y/x -1 est y = x (définie aussi soit pour x>0, soit pour  x<0).
La solution générale de y' = 2 y/x -1 est donc y = K x² + x, définie soit pour x>0, soit pour x<0.

Toutes les fonctions y = K x² + x  se prolongent par continuité en posant y(0) = 0. On a toujours alors, quelque soit K, y'(0) = 1.
Si K₁ et K₂ sont deux réels quelconque, la fonction définie par y =  K₁ x² + x  si x<0 , y =  K₂ x² + x  si x >0, et y(0) = 0 est continue, dérivable partout, même en x = 0, et est solution de  xy' - 2y + x = 0 : on peut ainsi "recoller" n'importe quelle solution définie pour x < 0 avec n'importe quelle solution définie pour x > 0.
Comme l'équation  xy' - 2y + x = 0 ne peut pas se mettre sous la forme y' = f(x,y) dans un voisinage de l'origine, cela ne contredit pas le théorème d'Unicité de Cauchy-Lipschitz.

On retrouve bien que toutes les fonctions y = Cx ² sont des solutions de xy' - 2y + x = 0, mais ce ne sont pas les seules : une solution peut bifurquer à l'origine en changeant la valeur de C.

Sur la figure ci-dessous, on voit quelques unes de ces solutions. En cliquant sur un point d'abscisse négative puis  sur un point d'abscisse positive, on peut construire à sa guise une solution définie pour tout x réel. Vous la verrez en vert.

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