Préambule

Structure de la réunion

Structure de la réunion de deux sous-espaces

Soient E un K-espace vectoriel, F et G deux sous-espaces vectoriels de E. La réunion des sous-espaces vectoriels F et G, n'est un sous-espace vectoriel de E que dans les cas triviaux
ou ,
c'est-à-dire est un sous-espace vectoriel de E si et seulement F est contenu dans G ou G est contenu dans F.

Preuve

Si F est contenu dans G, est bien un sous-espace vectoriel de E.
De même si G est contenu dans F.

Réciproquement :

Méthodologie Si (P) désigne la propriété " est un sous-espace vectoriel de E", si (Q) désigne la propriété "F est contenu dans G" et (R) désigne la propriété "G est contenu dans F", le schéma logique de l'énoncé est: "(P) implique (Q) ou (R)". Il est équivalent de démontrer que "non(Q) et non(R) impliquent non(P)" : c'est un raisonnement par contraposée.

Soit F et G tels que F ne soit pas contenu dans G, et G ne soit pas contenu dans F.

Puisque F n'est pas contenu dans G, il existe un élément de F, noté a, qui n'appartient pas à G. Comme F est contenu dans , a appartient aussi à .
Et de même, puisque G n'est pas contenu dans F, il existe un élément de G, noté b, qui n'appartient pas à F. Comme G est contenu dans , b appartient aussi à .

Alors l'élément n'appartient ni à F ni à G :
en effet s'il appartenait à F, l'élément serait dans F puisque F est un sous-espace vectoriel, ce qui est en contradiction avec le choix de b; de même ne peut pas appartenir à G, sinon appartiendrait à G.

Donc puisque n'est pas stable pour l'addition, n'est pas un sous-espace vectoriel de E.

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