Somme de sous-espaces vectoriels

Somme de plusieurs sous-espaces vectoriels

La notion de somme de deux sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel se généralise en la notion de somme de plusieurs sous-espaces.

Définition de la somme de n sous-espaces vectoriels Si sont n sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E, l'ensemble de toutes les sommes où, pour tout entier p compris entre 1 et n l'élément xp appartient à Fp, est appelé somme des sous-espaces et est noté :   ou

Théorème de structure de la somme de n sous-espaces vectoriels La somme des sous-espaces Fp, p compris entre 1 et n, est un sous-espace vectoriel de E et c'est le sous-espace engendré par la réunion de tous les Fp.

La démonstration est analogue au cas n = 2.

   Exemple immédiat

Considérons dans R⁴ les trois sous-espaces vectoriels F, G et H, engendrés respectivement
par , alors tout élément de la somme s'écrit sous la forme et donc :

Somme de sous-espaces vectoriels