Somme directe de sous-espaces vectoriels
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Somme directe de deux sous-espaces vectoriels


Dans l'exemple 2 précédent : et
(ce qui entraîne ) un élément quelconque de peut s'écrire comme somme d'un élément de F' et d'un élément de G' de plusieurs manières, par exemple :

L'écriture de u comme somme d'un élément de F' et d'un élément de G' n'est pas unique.

Par contre, dans l'exemple 1 :   et , un élément quelconque de ne peut s'écrire que d'une manière unique comme somme d'un élément de F et d'un élément de G, à savoir :

  

Définition de la somme directe de deux sous-espaces

Etant donnés deux sous-espaces vectoriels F et G de E, la somme des sous-espaces F et G est dite directe et s'écrit si et seulement si tout élément de s'écrit d'une manière unique comme la somme d'un élément de F et d'un élément de G.

La somme est appelée somme directe de F et G.

Remarque :
On dit que l'élément
u de s'écrit d'une manière unique comme somme d'un élément de F et d'un élément de G lorsque la propriété suivante est vérifiée :
l'élément
u de n'est égal à la fois à et à ( où v et v' sont des éléments de F, w et w' des éléments de G) que dans le cas où et  :

Propriété caractéristique

Une condition nécessaire et suffisante pour que la somme de deux sous-espaces vectoriels F et G soit directe est que l'intersection de F et de G soit réduite au vecteur nul.

   Preuve

   Supposons que . Si u est un élément quelconque de alors u peut s'écrire des deux manières suivantes, comme somme d'un élément de F et d'un élément de G :

L'élément u étant un élément de , est donc un élément de  ; d'après l'unicité de l'écriture d'un élément de , cela entraîne : . Donc .

   Réciproquement supposons que . Soit u un élément de . Si u s'écrit de deux manières comme la somme d'un élément de F et d'un élément de G : , où v et v' sont des éléments de F et w et w' des éléments de G, alors  ; mais est un élément de F et est un élément de G (puisque F et G sont des sous-espaces vectoriels) donc est un élément de , c'est donc l'élément nul, donc et .

L'écriture de u comme somme d'un élément de F et d'un élément de G est donc unique.

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