Somme directe de deux sous-espaces vectoriels
Dans l'exemple 2 précédent : et
(ce qui entraîne ) un élément quelconque
de
peut s'écrire comme somme d'un élément de F' et d'un élément de G' de plusieurs manières, par exemple :
L'écriture de u comme somme d'un élément de F' et d'un élément de G' n'est pas unique.
Par contre, dans l'exemple 1 :
et
,
un élément quelconque
de
ne
peut s'écrire que d'une manière unique comme somme d'un élément de F et
d'un élément de G, à savoir :
Définition de la somme directe de deux sous-espaces Etant donnés deux sous-espaces vectoriels F et G de E, la somme La somme |
Remarque :
On dit que l'élément u de s'écrit d'une manière unique
comme somme d'un élément de F et d'un élément de G lorsque la propriété suivante est
vérifiée :
l'élément u de n'est égal à la fois à
et
à
( où v et v' sont des éléments de F,
w et w' des éléments de G) que dans le cas où
et
:
Propriété caractéristique Une condition nécessaire et suffisante pour que la somme de deux sous-espaces vectoriels F et G soit directe est que l'intersection de F et de G soit réduite au vecteur nul. ![]() |
Preuve
L'élément u étant un élément de , est donc un élément de
; d'après l'unicité de
l'écriture d'un élément de
, cela entraîne :
.
Donc
.
L'écriture de u comme somme d'un élément de F et d'un élément de G est donc unique.