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Somme directe de deux sous-espaces vectoriels
Dans l'exemple 2 précédent : 
et 
(ce qui entraîne 
) un élément quelconque 
de 
peut s'écrire comme somme d'un élément de F' et d'un élément de G' de plusieurs manières, par exemple :
L'écriture de u comme somme d'un élément de F' et d'un élément de G' n'est pas unique.
Par contre, dans l'exemple 1 :
et 
,
un élément quelconque 
de 
ne
peut s'écrire que d'une manière unique comme somme d'un élément de F et
d'un élément de G, à savoir :
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Définition de la somme directe de deux sous-espaces Etant donnés deux sous-espaces vectoriels F et G de E, la somme La somme |
Remarque :
On dit que l'élément u de s'écrit d'une manière unique
comme somme d'un élément de F et d'un élément de G lorsque la propriété suivante est
vérifiée :
l'élément u de n'est égal à la fois à 
et
à 
( où v et v' sont des éléments de F,
w et w' des éléments de G) que dans le cas où 
et 
:
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Propriété caractéristique Une condition nécessaire et suffisante pour que la somme de deux sous-espaces vectoriels F et G soit directe est que l'intersection de F et de G soit réduite au vecteur nul.  |
Preuve
Supposons
que 
.
alors u peut s'écrire des
deux manières suivantes, comme somme d'un élément de F et d'un élément de G :
L'élément u étant un élément de , est donc un élément de 
; d'après l'unicité de
l'écriture d'un élément de , cela entraîne : 
.
Donc 
.
Réciproquement
supposons que .. Si u s'écrit de
deux manières comme la somme d'un élément de F et d'un élément de G :
, où v et v' sont des éléments de F et
w et w' des éléments de G, alors 
; mais 
est
un élément de F et 
est un élément de G (puisque F et G sont des sous-espaces
vectoriels) donc est un élément de , c'est donc l'élément nul,
donc 
et 
.
L'écriture de u comme somme d'un élément de F et d'un élément de G est donc unique.
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si et seulement si tout élément de