Somme directe de sous-espaces vectoriels

Somme directe de plusieurs sous-espaces vectoriels

La notion de somme directe de deux sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E se généralise au cas de plusieurs sous-espaces.

Définition de la somme directe de n sous-espaces vectoriels La somme de n sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E est directe si et seulement si tout élément de s'écrit d'une manière unique comme somme d'éléments de . Ce qui s'écrit avec les quantificateurs :   La somme directe de est notée :

   Exemple

Soit dans R⁴ les trois sous-espaces vectoriels F, G et H, engendrés respectivement par (1,0,0,0), (0,1,0,0) et (0,0,1,0). Alors tout élément u de la somme s'écrit sous la forme
  donc .
Si u s'écrivait aussi , alors .
Mais dans R⁴ :  
donc l'écriture d'un élément de comme somme d'éléments de F, G et H est unique :

Propriété caractéristique La somme de n sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E est directe si et seulement si, pour tout entier p compris entre 2 et n, la somme est la somme directe de et de .

Il est équivalent de dire d'après le théorème sur la somme directe de deux sous-espaces vectoriels :

La somme de n sous-espaces vectoriels d'un K-espace vectoriel E est directe si et seulement si la propriété suivante est vérifiée :

 Cliquez moi pour voir la preuve !

Remarque :
Si est une somme directe alors la propriété suivante est vérifiée :

Mais cette condition (qui est nécessaire) pour que la somme soit directe n'est pas suffisante. En effet considérons le contre exemple suivant :

Contre exemple :
Dans l'espace vectoriel R², soit F le sous-espace vectoriel engendré par (1,0), G le sous-espace vectoriel engendré par (0,1) et H le sous-espace vectoriel engendré par (1,1).
Il est immédiat que et pourtant la somme n'est pas directe.
En effet l'élément (1,1) de se décompose en somme d'éléments de F, G et H de la manière suivante :

mais aussi de la manière suivante :

donc il n'y a pas unicité de l'écriture.

ATTENTION : Dans le cas de plusieurs sous-espaces vectoriels, le fait que les sous-espaces aient deux à deux une intersection réduite au vecteur nul n'est pas une condition suffisante pour que la somme soit directe.

Somme directe de sous-espaces vectoriels