Le déterminant d'ordre  n  est calculé par récurrence à partir des déterminants d'ordre  n - 1  en développant par rapport à la première colonne.

On montre les propriétés de linéarité par rapport à une ligne ou par rapport à une colonne. On traduit ces propriétés en disant que le déterminant est une forme  n -linéaire par rapport aux colonnes, (ou par rapport aux lignes).

On étudie le cas de deux vecteurs égaux et on montre que le déterminant s'annule.