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Quantificateur existentiel

existe x E,   P(x)

Cette phrase formelle affirme que dans E il existe au moins un élément x qui vérifie la propriété "P". Attention, il peut aussi en exister plusieurs. La seule affirmation faite est la suivante : l'ensemble des éléments de E qui vérifie la propriété "P" est non vide. Ceci est différent du langage courant souvent plus ambigu. Dans certains contextes, l'affirmation. Il y a un x qui vérifie "P" peut vouloir dire un seul x, alors que dans le langage mathématique le sens est précis: au moins un x, éventuellement plusieurs.

Un exemple pour illustrer

Si a Z, étudions la propriété
" l'équation 2x 2 - (a + 2)x + a = 0 a une solution entière".

L'équation a deux racines, x' = 1 et x" = a/2 ; si a est pair, elles sont entières toutes les deux, sinon, seule la première est entière. La propriété est donc vraie, bien qu'il y ait quelquefois deux solutions entières; elle doit être comprise comme:

existe x Z,    2x 2- (a + 2)x + a = 0

Souvent on précise quand même:
" l'équation 2x 2 - (a + 2)x + a = 0 a au moins une solution entière" , mais ce n'est pas obligatoire.

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