Logique Cardinal d'un ensemble Le dénombrable

L'ensemble des nombres rationnels

La démonstration de la dénombrabilité de  fut faite par Cantor en 1874.

Comme l'ensemble contient l'ensemble des entiers, le cardinal de cet ensemble est au moins ₀.
Il est facile de voir d'après la démonstration précédente que si l'ensemble des nombres rationnels positifs est dénombrable, l'ensemble l'est aussi.

L'ensemble peut être construit en établissant une relation d'équivalence sur l'ensemble des couples d'entiers relatifs (a, b) avec a , b et b 0 :

(a, b) ~ (c, d) si et seulement si  a d = b c.

Ceci est la façon mathématique d'exprimer que des "fractions égales" représentent le même nombre rationnel qui admet donc pour représentants une infinité de couples (numérateur, dénominateur).