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P = a0 + a1 x + a2 x2 + ··· + an xn
nous définissons un entier positif appelé sa hauteur :
h(P) = n - 1 + | a0 | + | a1 | + | a2 | + ··· + | an |
Avec un peu de réflexion, on voit qu'il n'existe qu'un nombre fini de polynômes de hauteur h. Chacun de ces polynômes n'a qu'un nombre fini de racines. Pour ranger tous les nombres algébriques en une suite, on commence à ranger les polynômes en une suite, en utilisant leur hauteur et en rangeant arbitrairement les polynômes (en nombre fini) qui ont une hauteur donnée. Pour chacun de ces polynômes, on range ses racines par le même procédé. On fabrique donc une suite formée de tous les nombres algébriques. L'ensemble des nombres algébriques est donc contenu dans une réunion dénombrable d'ensembles finis, cela permet de montrer que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable.
