Logique Cardinal d'un ensemble Le continu : les réels

Le procédé diagonal de Cantor

Le principe de la démonstration est de montrer qu'au moins un nombre réel échappe à ce classement et donc qu'il y a une contradiction. On fabrique un nombre réel B par un procédé appelé procédé diagonal en prenant B = 0,b₀b₁ b₂ b₃ ··· en imposant b₀  a₀₀, b₁  a₁₁, b₂  a₂₂, etc. et que de plus les b_i ne soient pas égaux à des 9 indéfiniment.

Comme on ne travaille qu'avec des développements propres, il est sûr que B  A₀ car le premier chiffre après la virgule de ces deux nombres diffère, B  A₁ car le deuxième chiffre après la virgule de ces deux nombres diffère, B  A₂ car le troisième chiffre après la virgule de ces deux nombres diffère, etc. Le nombre B n'a pas été classé et on a obtenu une contradiction. On ne peut donc pas ranger les nombres réels de l'intervalle ] 0,1 [ en une suite. Cet ensemble n'est pas dénombrable. On en déduit immédiatement que l'ensemble des nombres réels est non dénombrable.