Logique Cardinal d'un ensemble Le continu : les réels

L'ensemble des nombres transcendants

La réunion de deux ensembles dénombrables est dénombrable. Comme l'ensemble des nombres réels est la réunion de l'ensemble des nombres algébriques et de l'ensemble des nombres transcendants, on peut conclure que l'ensemble des nombres transcendants n'est pas dénombrable, sinon l'ensemble le serait aussi.

Dans l'enseignement au lycée, les étudiants rencontrent quelques nombres transcendants comme p et e. Implicitement, ils peuvent en tirer l'idée que ces nombres sont peu nombreux et se limitent à quelques nombres exotiques. On voit combien le résultat mathématique est ici loin de l'intuition.