On peut essayer de définir une autre
relation d'ordre sur les cardinaux en disant que le cardinal de
E est plus grand que celui de F, si on peut définir une
application surjective j de E sur F.
L'axiome du
choix permet de montrer qu'alors il existe une injection y de
F dans E. On n'a donc défini en fait qu'une seule relation
d'ordre sur les cardinaux.
On montre que si la théorie des ensembles est non contradictoire,
elle le reste si on lui adjoint l'axiome du choix (résultat
démontré par Gödel en 1940), elle le reste aussi si on adopte la
négation de l'axiome du choix (Cohen, 1963), ce qui signifie que
cet axiome est indépendant des autres axiomes de la théorie des
ensembles.
