Mécanique. Champs de vecteurs - Potentiel.4

3.4. Vecteur Gradient Définition Champ gradient Propriétés du gradient  3.4.1. Définition   La différentielle d'une fonction scalaire du point M(x,y,z), f, s'exprime en fonction des dérivées partielles: Cette expression est analogue à celle du produit scalaire du vecteur de composantes dx,dy, dz et du vecteur de composantes Par définition, on appelle gradient de f en M, et on le note : , le vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles de f calculées au point M • En coordonnées cartésiennes :     • En coordonnées cylindriques : le gradient s'écrit sous la forme L'expression de df que nous avons donnée s'écrit alors :   Ce vecteur est donc un vecteur associé au point M, fonction de ce point. Remarque: Lorsque le champ de gradients est une force , f est appelée fonction de forces. On utilise généralement la fonction énergie potentielle U, opposée de f: U= - f ; on retrouve alors la relation :      3.4.2. Champ gradient   Lorsqu'un champ dérive d'un potentiel, la relation ci-dessus donne en coordonnées cartésiennes : Ce qui est équivalent à :            Lorsqu'un champ dérive d'un potentiel scalaire U, il est l'opposé du gradient de la fonction potentiel U. On l'appelle quelquefois champ gradient.    3.4.3. Propriétés du gradient   Soient la surface équipotentielle U(x,y,z) = K , M un point de cette surface équipotentielle et soit un déplacement élémentaire quelconque. • Si M' est aussi sur l'équipotentielle le gradient en M de U est perpendiculaire à : le gradient est normal à l'équipotentielle. • Si est perpendiculaire à l'équipotentielle, dans le sens des potentiels croissants, Le vecteur gradient est normal en M à la surface U(x,y,z) = K et dirigé dans le sens des potentiels croissants. Il a pour longueur , dérivée normale de U.

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