Mécanique - Chapitre A - 4

A.4.Vitesse et accélération dans les différents systèmes de coordonnées Coordonnées cartésiennes:      Vitesse  Accélération Coordonnées polaires cylindriques:     Vitesse  Accélération Coordonnées sphériques:     Vitesse  Accélération  A.4.1. Coordonnées cartésiennes On emploie l' expression "coordonnées cartésiennes" pour parler des coordonnées cartésiennes rectilignes dans la base . Le rayon vecteur dans la base canonique s'écrit : où x, y, z sont des fonctions scalaires du temps et est une fonction vectorielle du temps.    A.4.1.a) Vitesse La vitesse est définie par En utilisant la décomposition sur la base: Or la base est fixe dans le repère, par suite: On notera souvent : On voit ainsi que le calcul de la dérivée d'une fonction vectorielle de la variable scalaire temps se ramène au calcul des dérivées par rapport au temps des composantes du vecteur; les composantes sont des fonctions scalaires d'une variable scalaire.    A.4.1.b) Accélération L' accélération est définie par En utilisant la décomposition du vecteur vitesse sur la base cartésienne, il en résulte avec le même raisonnement que ci-dessus: On écrira aussi : Faire les exercices: Calcul de vitesse et d'accélération Equations de mouvement dans le plan    A.4.2. Coordonnées polaires cylindriques Le rayon vecteur s'écrit : - où est une fonction vectorielle du temps - r, f, z sont des fonctions scalaires du temps, mais est une base locale mobile ; l' orientation des vecteurs dépend de M, donc du temps.    A.4.2.a) Vitesse   On exprime à l'aide de sa décomposition sur la base polaire cylindrique et on dérive par rapport au temps: est un vecteur fixe du repère (indépendant du temps), mais bien que de norme constante, a une direction associée à la position du mobile M et dépend du temps. Il faut donc exprimer la dérivée de par rapport au temps :             A partir de la définition du vecteur position et du résultat sur la dérivation par rapport à un paramètre de rotation d'un vecteur, il vient : . En reportant dans l'expression de la vitesse:       noté      A.4.2.b) Accélération On part à nouveau de Pour calculer la dérivée de par rapport au temps, on peut appliquer le résultat général : la dérivée par rapport à une variable de rotation d'un vecteur unitaire est le vecteur unitaire ayant subi une rotation de +¹/2: Par suite: et La notation r" et f" indique qu'il s'agit de la dérivée seconde par rapport au temps.     Remarque: Dans le cas d'un mouvement plan dans le plan , on obtient facilement  en supprimant dans les expressions ci-dessus les composantes en z. Il faut veiller alors, à ne pas confondre accélération normale et accélération portée par le rayon vecteur! Faire les exercices: Grandeurs cinématiques sur une hélice Coordonnées polaires : vitesse. Coordonnées polaires : accélération.    A.4.3. Coordonnées sphériques   Le rayon vecteur s'écrit où est une fonction vectorielle du temps et r,q, f des fonctions scalaires du temps. La base sphérique est une base locale, l'orientation des vecteurs dépend de M, donc du temps. Dans ce cas, les directions des vecteurs de la base dépendent des deux variables q et f, elles-mêmes fonction du temps.  A.4.3.a) Vitesse Le calcul de la vitesse conduit à l'expression  A.4.3.b) Accélération Les composantes de l' accélération sont développées ci-dessous:

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