Arithmétique PGCD ET PPCM Décomposition de deux nombres à l'aide de leur pgcd

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Décomposition de deux nombres à l'aide de leur pgcd :

Soient deux entiers a et b avec leur pgcd d. Notons a' et b' les quotients de a et b par d. Donnons nous deux entiers u et v satisfaisant à la relation de Bézout : au + bv = d.

a = da'
b = db'
au + bv = d
da' u + db'v = d
a'u + b'v = 1
donc d'après le corollaire du théorème de Bézout a' et b' sont premiers entre deux.


Condition nécessaire et suffisante pour qu'un nombre soit le pgcd de a et b :

Si a et b sont deux entiers et d un diviseur positif commun de a et de b, si a = da' et b = db', on a l'équivalence :

d = pgcd(a,b) pgcd(a',b') = 1