Arithmétique PGCD ET PPCM Démonstration

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Démonstration de la réciproque :

Si d est un diviseur commun positif à a et b, si a = d a1 et b = d b1, et si pgcd(a1, b1) = 1 alors d = pgcd(a,b).
d est un diviseur commun à a et b, donc d est un diviseur du pgcd d de a et b : il existe un entier d' tel que d d' = d

a = da' = d d' a' = d (d' a')    et    b = db' = d d' b' = d (d'b')

Donc d'après les hypothèses, d'a' = a1 et d'b' = b1. d' est un diviseur commun à a1 et b1, supposés premiers entre eux. pgcd(a1,b1) = 1 donc d' divise 1 et est positif.

Donc d' = 1. On a donc montré d = pgcd(a,b).