Nous pouvons donner deux démonstrations de ce
corollaire. Celles-ci illustrent l'utilisation des théorèmes de
Bézout et de Gauss. Supposons a premier avec b et avec c.
Première démonstration : celle-ci utilise
le théorème de Gauss. Soit d un diviseur commun à a et
bc. Comme d est un diviseur de a qui est premier avec
b, on sait que d est premier avec b et divise bc, et
donc que d divise c, d'après le théorème de Gauss.
d diviseur commun à a et c, supposés premiers entre eux
est égal à 1. Le seul diviseur commun possible à
a et bc est 1, donc a est premier avec bc.
Deuxième démonstration directe, en
appliquant le théorème de Bézout, il existe deux couples d'entiers
(u,v) et (x,y) tels que :
au + bv = 1 et ax + cy = 1.
En multipliant membre à membre ces égalités, on obtient :
| (au + bv)(ax + cy) = 1 |
| a(aux + bvx + cuy) + (bc)(vy) = 1 |
D'après le corollaire du théorème de Bézout, ceci entraîne que a
et bc sont premiers entre eux, et donc que a est premier avec
bc.
