Jusqu'ici, on aurait pu imaginer qu'une fonction donnée ait plusieurs développements limités à l'ordre 4 par exemple, ou bien plusieurs développements limités à l'ordre 7, etc. Cela ne peut pas arriver comme l'exprime le théorème suivant :

Théorème 1 

Si f admet un développement limité à l'ordre n en 0, alors ce développement limité est unique.

Preuve
Soit f(x) = P(x) + x ⁿ e₁ (x) et f(x) = Q(x) + x ⁿ e₂ (x) deux développements limités de f à l'ordre n en 0 ; montrons que P = Q (on aura alors e₁ = e₂). On raisonne par récurrence sur l'ordre n :

• n = 0 : f(x) = a₀ + e₁ (x) = b₀ + e₂ (x), on a alors

  lim_{x ® 0} f(x) = a₀ = b₀.

• On suppose la propriété vraie à l'ordre (n - 1) ; en tronquant les deux développements à l'ordre (n - 1), on obtient :

sont deux développements limités de f à l'ordre (n - 1) en 0 donc, d'après l'hypothèse de récurrence, [P]_n-1 = [Q]_n-1.

Puisque P(x) = [P]_n-1 (x) + a_n x ⁿ et Q(x) = [Q]_n-1 (x) + b_nx ⁿ , il reste à montrer que a_n = b_n ; il suffit de remarquer que :