Sous-espaces supplémentaires

Exemple dans R³

Dans l'exemple 1 précédent, la somme est une somme directe, mais elle n'est pas l'espace vectoriel tout entier.

Dans l'exemple 2, F' et G' vérifient bien mais leur somme n'est pas directe.

Les sous-espaces F et G ne sont pas des sous-espaces vectoriels supplémentaires, F' et G' non plus.

Soient les sous-espaces vectoriels F'' et G'' de R³ suivants :

  et  

   Preuve :

1. Il est immédiat de vérifier que  :
   En effet si l'élément appartient à l'intersection de F'' et de G'', alors les coordonnées de u vérifient : (car u appartient à F''), et (car u appartient à G''),
   donc et .
    
2. Il reste à démontrer que .
   Soit donc un élément quelconque de R³ ; il faut déterminer des éléments u₁ de F'' et u₂ de G'' dont la somme soit égale à u : .
   L'élément u₁ doit être tel que avec et l'élément u₂ tel que
     avec .
   Comme , les coordonnées de ces éléments doivent vérifier :
    , (puisque ), (puisque ),
   et donc ,
   d'où et donc et .
   Ces conditions nécessaires sur u₁ et u₂ sont aussi suffisantes puisque tout élément de R³ vérifie :

  où et .

montre leur unicité. Mais lorsqu'on ne sait pas si la somme est directe ou ne l'est pas, il est souvent plus facile de commencer par vérifier si l'intersection est nulle ou ne l'est pas.

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