Différents courants de pensée
cherchent une solution à ces problèmes.
Ceci conduit à l'élaboration de théories
axiomatiques des ensembles fixant "les règles du jeu".
Celle utilisée aujourd'hui a été élaborée par Zermelo en 1908 et
améliorée par Fraenkel en 1922. Même si on sait qu'on ne pourra
jamais prouver qu'elle n'entraîne pas de contradiction, elle est
acceptée par la grande majorité des mathématiciens, comme
l'exprime le texte de Bourbaki, (collectif de mathématiciens):
"Nous nous contenterons de remarquer que ces difficultés
peuvent être surmontées d'une manière qui évite toutes les
objections et ne laisse aucun doute quant à l'exactitude du
raisonnement".
"Pendant vingt-cinq siècles, les mathématiciens ont corrigé
leurs erreurs, voyant leur science enrichie et non pas appauvrie ;
en conséquence, cela leur donne le droit de contempler le futur
avec sérénité".
