Logique Cardinal d'un ensemble Les ensembles infinis

Le tout et la partie

Galilée (au début du dix-septième siècle) remarque que la relation entre les entiers naturels et leurs carrés est bijective ; donc qu'une partie des entiers est en bijection avec les entiers. La relation "Le tout est plus grand que la partie", ne s'applique pas aux ensembles infinis. Ceci renforce la méfiance des mathématiciens vis à vis de l'usage de l'infini actuel mais pourtant les nécessités de l'analyse les confrontent à ce problème. Par exemple, les développements décimaux illimités font bien intervenir un infini actuel, infinité des chiffres du développement de nombres tels que ou p. De plus en plus, les mathématiciens font usage de l'infini dans leurs raisonnements, sans avoir les moyens de justifier rigoureusement ces méthodes.