Logique Cardinal d'un ensemble Les ensembles infinis

L'infini actuel

L'acceptation de l'usage de l'infini actuel fut le fait de plusieurs mathématiciens de la seconde moitié du siècle dernier dont Bolzano est un précurseur et Cantor le plus connu.

Au cours de cette période, on suit un processus de débat et d'acceptation. Ainsi, on voit une évolution chez un mathématicien comme Bolzano. En 1817, il montre l'existence de la borne inférieure d'un ensemble minoré de nombres réels par un raisonnement en compréhension. Trente ans plus tard, il utilise l'infini actuel en montrant que deux intervalles compacts de sont équipotents, (c'est-à-dire en bijection). Il remarque qu'une différence caractéristique entre ensemble fini et ensemble infini est l'existence de sous-ensembles propres équipotents au tout. Cependant Bolzano n'arrive pas à dégager clairement la notion de puissance d'un ensemble (généralisation de la notion de nombre d'éléments pour un ensemble infini) et à la distinguer de la notion d'ordre de grandeur.