Il faut séparer nettement les questions
liées à l'infini et à la notion de cardinal ou de puissance d'un
ensemble, beaucoup plus difficiles. Depuis les paradoxes de Zénon,
jusqu'à Bolzano et Cantor, les mathématiciens sont confrontés à la
difficulté de concevoir une grandeur finie composée d'une infinité
de points dépourvus de grandeur. La notion d'équipotence,
c'est-à-dire de l'existence d'une bijection entre ensembles est
dégagée petit à petit.
Quand on travaille avec les ensembles finis, pour comparer deux
ensembles du point de vue du nombre de leurs éléments, on peut
soit compter celui-ci pour chacun des deux ensembles, soit essayer
d'établir une bijection entre les deux ensembles. Toutefois, si
l'un des ensembles finis est strictement inclus dans l'autre, on
sait qu'il a moins d'éléments.
Ceci n'est plus vrai pour les ensembles infinis. Paradoxalement,
la propriété qui avait choqué Galilée va devenir une définition.
On va définir un ensemble infini comme un ensemble qui possède un
sous-ensemble propre équipotent à cet ensemble.
