Logique Cardinal d'un ensemble Les ensembles infinis

Les travaux de Cantor

On peut introduire la notion d'ensemble dénombrable pour des ensembles d'objets que l'on peut ranger en une suite, c'est-à-dire pour lesquels on peut établir une bijection avec l'ensemble des entiers. Y a-t-il des ensembles qui ne sont pas dénombrables?

Cantor aborde ces questions à propos d'ensembles exceptionnels apparus dans l'étude des séries trigonométriques. En 1873 il montre que l'ensemble des rationnels est dénombrable et que l'ensemble des nombres réels ne l'est pas. En 1877, après avoir montré que les ensembles et ² peuvent être mis en bijection, il écrit à Dedekind "Je le vois, je ne le crois pas", tant ce résultat est en contradiction avec l'intuition. De 1878 à 1884, il publiera six mémoires sur la théorie des ensembles. Il dégage la notion d'équipotence de deux ensembles, de puissance d'un ensemble, d'ensemble totalement ordonné, étudie les propriétés topologiques de et aborde les problèmes de mesure. Ses travaux sont très controversés, et s'il reçoit l'appui de Dedekind et de Weierstrass, il se heurte à une très grande hostilité de mathématiciens influents comme Schwarz et Kronecker.

Dedekind prolonge les travaux de Cantor en dégageant la notion d'application quelconque d'un ensemble dans un autre, la notion d'ensemble ordonné et celle d'ensemble réticulé.