Très vite le langage des ensembles est adopté par les
mathématiciens, mais très vite aussi, des paradoxes surgissent :
par exemple Cantor lui-même en montre l'apparition
lorsque l'on utilise une notion telle que "l'ensemble de
tous les ensembles". En voici quelques autres en mathématiques
ou ailleurs :
La règle "toutes les règles possèdent des exceptions" est
une règle; donc elle doit avoir une exception; donc au moins une
règle ne possède pas d'exception.
On connaît ainsi plusieurs énoncés autoréférents qui se nient
eux-mêmes : le paradoxe du menteur quand il dit "je mens",
faut-il le croire ? Que penser de "la phrase que j'énonce
est fausse" ?
Russel en 1902 définit la classe N de tous les classes E qui
n'appartiennent pas à elles-mêmes. D'après la définition, N ne
s'appartient pas. Mais si N ne s'appartient pas, il fait partie
des classes qui ne s'appartiennent pas et appartient donc à N.
