3.2.3.1. Définitions

Pendant le temps Δt l'augmentation du volume de filtrat est ΔV. Le débit instantané de filtrat est

(9)

Si Ω est la surface filtrante, la vitesse débitante en fût vide est :

(10)

Hypothèses

1. Le régime d'écoulement à travers le gâteau est laminaire.
2. Le gâteau est homogène et incompressible.

Les vitesses absolues de filtration sont toujours très faibles et l'expérience montre (a posteriori) que le fluide s'écoule en régime laminaire dans les pores.

Par exemple, le débit de filtrat à travers un gâteau de résistance moyenne est de l'ordre de 2,5 m³ / m²·h, soit une vitesse u de l'ordre de 0,07 cm/s. Si l'on admet que la dimension des grains formant le gâteau est bien inférieur à 25 µm, on peut calculer que pour un liquide dont la masse volumique et la viscosité sont voisines de celle de l'eau.

Le nombre de Reynolds est inférieur à 0,01.

Dans ces conditions, on observe que la perte de charge est proportionnelle au débit instantané et à la viscosité du fluide :

ΔP = ηu (11)

Le coefficient de proportionnalité est une « résistance » à l'écoulement par unité de surface qui a la dimension L^-1.

est la somme de deux résistances en série : celle du support R_s et celle du gâteau en cours de formation R

 = R + R_s (12)

3.2.3.2. Résistance du support

Le choix du support réalise un compromis entre une résistance R_s minimale et une dimension des pores suffisamment petite pour arrêter les particules. Comme cette dimension est liée à la taille des grains formant le gâteau, il peut être intéressant de calculer l'épaisseur équivalente du gâteau ayant la même résistance que le support. Il est possible de trouver des supports satisfaisants dont l'épaisseur équivalente correspond à 0,25 mm, ce qui est vite négligeable devant l'épaisseur du gâteau. Le tableau 1 donne quelques valeurs de R_s.

Type de toiles	Ouverture (µm)	Rs (m-1)
Toiles métalliques REPPS inox	350	1·107
	47	2·107
	5	2·108
Tissus coton croisé		9·107 à 5·108
nylon mono filament		1·106 à 5·106
nylon multi filament		2·106 à 3·108
verre		6·107 à 7·108
Non tissé		6·106 à 3·109

3.2.3.3. Résistance spécifique du gâteau α

Écrivons que la résistance à l'écoulement par unité de surface du gâteau est proportionnelle à la masse de matériau séché déposé par unité de surface filtrante :

(13)

Cette relation constitue une définition de la grandeur α qui porte le nom de « résistance spécifique du gâteau ». Le fait de supposer α constant revient à admettre que le gâteau se dépose régulièrement et que sa texture reste la même pendant toute la filtration ; autrement dit, nous faisons l'hypothèse d'un gâteau homogène et incompressible.

La dimension de α est : LM^-1.

Cherchons à exprimer la résistance spécifique α du gâteau en fonction de sa perméabilité B définie par l'équation de Darcy :

(14)

ΔP_G = P₂ - P₁ est la chute de pression à l'intérieur du gâteau. Elle peut aussi être calculée à partir de l'équation :

d'où

(15)

Explicitons la masse M du gâteau, d'épaisseur Z :

ρ_s : masse volumique du matériau constituant le lit.

Il vient :

(16)

d'où

(17)

Ordre de grandeurs de α

talc (pression de filtration ∼ 3 bar)	α ≈ 4,7·1011 m·kg-1
Diatomite naturelle	α ≈ 6·1010 m·kg-1
Diatomite calcinée	6·109 < α < 6·1010 m·kg-1
Diatomite calcinée frittée	6·108 < α < 6·109 m·kg-1
billes de verre (ρs = 2750 kg·m-3, ε = 0,40) :
diamètre en μm 500 100 20 5 α en m·kg-1 2,2·106 5,5·107 1,38·109 2,2·1010

3.2.3.4. Expressions de la vitesse de filtration

Reprenons les relations (1) et (2) : ΔP = (R_s + R)ηu. En y substituant la valeur de la résistance à l'écoulement par unité de surface du gâteau :

(18)

ainsi que celle de la vitesse d'écoulement :

on obtient une équation hyperbolique :

(19)

Liant la chute de pression, le débit instantané et le volume de filtrat V (voir figure 3) :